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  1. 设 $G=\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$, $B$ 为其中上三角阵构成的子群, $w=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix} \right)$. 证明: $G$ 是 $BwB$ 与 $B$ 的不交并.
  2. 给出 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 的一个 Sylow $p$ 子群.
  3. 证明 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ 中不含指数有限的真子群.
  4. 已知四元数 $\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\mid a, b, c, d\in \mathbb{R}\}$ 中的乘法如下给出:
    \[ i^2=j^2=k^2=-1,\ ij=-ji=k,\ jk=-kj=i,\ ki=-ik=j. \]

    1. 证明 $\mathbb{H}^\times=\mathbb{H}-\{0\}$ 在乘法意义下构成群.
    2. 对于 $\alpha=a+bi+cj+dk$, 定义其共轭为 $\bar\alpha= a-bi-cj-dk$. 证明 $N:\alpha\mapsto \alpha\cdot \bar{\alpha}=a^2+b^2+c^2+d^2$ 是 $\mathbb{H}^\times$ 到 $\mathbb{R}^\times$ 的群同态.
    3. 证明 $\ker N$ 同构于
      \[ \mathrm{SU}(2)=\left\{\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ -\bar{\alpha}_2 & \bar{\alpha}_1 \end{pmatrix}:\ \alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{C},\ |\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2=1\right \}, \]
      其中复数 $\alpha=x+yi$ 的共轭是 $x-yi$.
    1. 若 $G/C(G)$ 是循环群, 证明 $G$ 为阿贝尔群, 故非交换有限群 $G$ 的中心 $C(G)$ 的指数 $\geq 4$.
    2. 如 $G$ 为 $n$ 阶有限群, $t$ 为 $G$ 中共轭类的个数, $c=\frac{t}{n}$. 证明 $c=1$ 或者 $c\leq \frac{5}{8}$.
  5. 设 $H$, $K$ 是 $G$ 的正规子群, 且 $HK=G$, $H\cap K=\{1\}$. 证明 $G$ 同构于 $H \times K$.
  6. 设群 $G$ 是 $24$ 阶群且其中心平凡, 证明 $G$ 同构于 $S_4$.

  1. 设 $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 上可约, 证明其在 $\mathbb{Z}[x]$ 上可约.
  2. 设 $I_1,\cdots, I_n$ 是环 $R$ 中的理想, 且素理想 $P=\bigcap\limits_{i=1}^n I_i$. 证明: $P$ 必等于其中某个 $I_i$.
  3. 设 $A=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
    1. 证明 $A$ 是欧几里得整环.
    2. 给出素数 $p$ 在 $A$ 中的因式分解.
  4. 设 $A$ 是有限阿贝尔群, $S^1$ 为单位圆. 定义 $A^*=\{\text{群同态} f: A\rightarrow S^1\}$, 并在其中定义乘法法为:
    \[ (f\cdot g) (x)= f(x) g(x). \]

    1. 证明 $A^*$ 是有限阿贝尔群.
    2. 证明 $A$ 同构于 $A^*$.
    3. 如果 $B$ 是 $A$ 的子群, 则映射 $\varphi: A^*\rightarrow B^*, \ f\mapsto f|_B$ 是满同态, 其中 $f|_B$ 是同态 $f: A\rightarrow S^1$ 在 $B$ 上的限制 (提示: 可以先考虑 $A/B$ 是 $p$ 阶循环群的情形).
  5. 设 $D$ 为整环, $K$ 是 $D$ 的商域. 设集合 $S\subseteq D$ 满足条件
    1. $0\notin S$, $1\in S$;
    2. 对 $x, y\in S$, 则 $xy\in S$.

    定义
    \[ S^{-1} D=\left \{ \frac{m}{n}\mid m\in D,\ n\in S\right \}\subseteq K. \]
    证明:

    1. $S^{-1} D$ 是 $K$ 中包含 $D$ 的子环.
    2. $S^{-1} D$ 中的素理想必有 $S^{-1} \mathfrak{p}= \{ \frac{m}{n}\mid m\in \mathfrak{p},\ n\in S\}$ 的形式, 其中 $\mathfrak{p}$ 是 $D$ 的素理想.
    3. $\mathrm{Spec} S^{-1} D$ 与集合 $\{ \mathfrak{p}\in \mathrm{Spec} D\mid \mathfrak{p}\cap S=\emptyset\}$ 一一对应.
    4. 设 $D=\mathbb{Z}$, $\mathfrak{p}=p\mathbb{Z}$, $S=\mathbb{Z}-\mathfrak{p}$, 则 $\mathbb{Z}/\mathfrak{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 同构于 $S^{-1} \mathbb{Z} /S^{-1} \mathfrak{p}$.

  1. 证明对于 $n\geq 3$, $x^{2^n}+x+1$ 在 $\mathbb{F}_2[x]$ 上是可约多项式.
  2. 设 $p$, $l$ 为素数, $n$ 为正整数, 试求 $\mathbb{F}_p[x]$ 中 $l^n$ 次首一不可约多项式的个数.
  3. 设 $p$ 是素数, $\zeta_p=\exp(2\pi i/p)$ 是 $p$ 次本原单位根, $(\frac{a}{p})$ 为 Legendre 符号. 设
    \[ G=\sum_{a\in \mathbb{F}_p} \zeta_p^a \Bigl (\frac{a}{p}\Bigr ). \]
    证明:

    1. $\sum\limits_{a\in \mathbb{F}_p} \zeta_p^a=0$.
    2. $G \cdot \overline{G} ={p}$, 其中 $\overline{G}$ 是 $G$ 的复共轭.
    3. $G= \pm \sqrt{(-1)^{(p-1)/2}p}$.
  4. 设 $F\supseteq \mathbb{Q}$ 是数域, $K/F$ 是域的 $n$ 次有限扩张. 设 $\alpha\in K$. 令 $T_{\alpha}$ 为 $K$ 上的 $F$-线性变换 $T_{\alpha}(x)=\alpha x$.
    1. 设 $\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式为 $f(X)=X^d+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots +a_0$. 试求 $\tr T_{\alpha}$ 和 $\det T_{\alpha}$.
    2. 定义 $\tr (\alpha)=\tr T_{\alpha}$. 证明 $B: K\times K\rightarrow F$, $(x,y)\mapsto \tr(xy)$ 是 $F$ 上的双线性形, 且是非退化的 (即若 $x\in K$, $B(x,y)=0$ 对所有 $y$ 成立, 则 $x=0$).
    1. 证明 $\mathbb{R}[x]$ 中的不可约多项式一定是 $1$ 次或者 $2$ 次的 (注: 只知道代数基本定理).
    2. 证明 $\mathbb{Z}[x]$ 上的极大理想必有 $(p, f(x))$ 的形式, 其中 $p$ 是素数, $f(x)\bmod p$ 是 $\mathbb{F}_p[x]$ 上的不可约多项式.

    1. 设 $a,b$ 为群 $G$ 的元素, $a$ 的阶是 $5$, 且 $a^3b=ab^3$. 证明: $ab=ba$.
    2. 试求 $S_6$ 中 $2$ 阶元的个数.
  1. 证明 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ 由第一类初等矩阵 $I+a E_{ij}$ 生成, 其中 $E_{ij}$ 的第 $(i,j)$-元为 $1$, 其他元为 $0$.
  2. 设 $G,\ A,\ B$ 为有限阿贝尔群. 如果 $G\oplus A\cong G\oplus B$, 证明 $A$ 同构于 $B$.
  3. 说明对角线为 $1$ 的上三角阵集合是 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 的一个 Sylow $p$ 子群, 并求 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 所有 Sylow $p$ 子群的个数.
  4. 设 $R$ 为交换环. 称 $x\in R$ 为幂零元, 如果存在 $n\in \mathbb{N}, x^n=0$. 求证:
    1. $R$ 中所有幂零元构成的集合 $N$ 是 $R$ 的一个理想.
    2. $R$ 中所有索理想均包含 $N$.
    1. 试求 $11+7i$ 与 $18-i$ 在 $\mathbb{Z}[i]$ 上的最大公因子.
    2. 若 $m, n$ 为整数, 则 $m, n$ 在 $\mathbb{Z}$ 上的最大公因子等于它们在 $\mathbb{Z}[i]$ 上的最大公因子.
  5. 设 $p$ 为素数数, $A$ 为 $n$ 阶整方阵, $A^p=I$ 且 $A\neq I$, 证明 $n\geq p-1$.
  6. 回忆 $f(x)=(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_n)$ 的判别式是
    \[ D(f)=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n} (\alpha_i-\alpha_j)^2. \]
    设 $p$ 为素数.

    1. 计算 $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$ 的判别式.
    2. 证明 $\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}$ 中唯一的二次子扩张是 $\mathbb{Q}(\sqrt{(-1)^{(p-1)/2}p})$.
  7. 构造一个 $8$ 元域, 并写出其加法表和乘法表.
  8. 设 $K$ 是 $f(x)=x^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域, 试求 $K/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群和全部子域.
  9. 设 $\alpha_1^2=2$, $\alpha_2^2=3$. 求 $\alpha_1+\alpha_2$ 在 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{F}_7$ 上的不可约多项式.
  10. 设 $K$ 是 $f(x)=x^4-2$ 在 $\mathbb{F}_5$ 上的分裂域, 试求 $K/\mathbb{F}_5$ 的 Galois 群和全部子域.

  1. 设 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群. 试证 $AB$ 是 $G$ 的子群当且仅当 $AB=BA$.
  2. 回答下列问题:
    1. 设 $p$ 是素数, $p$ 方幂阶群是否一定含有 $p$ 阶元?
    2. $35$ 阶群是否一定同时含有 $5$ 阶和 $7$ 阶元素?
  3. 若有限群 $G$ 同时含有 $10$ 阶元 $x$ 和 $6$ 阶元 $y$, 那么群 $G$ 的阶应该满足什么条件?
  4. 试计算:
    1. $S_6$ 中 $2$ 阶元的个数.
    2. $A_8$ 中阶最大的元素个数.
  5. 设群 $G$ 作用在集合 $\Sigma$ 上. 令 $t$ 表示 $\Sigma$ 在 $G$ 作用下的轨道个数, 对任意 $g\in G$, $f(g)$ 表示 $\Sigma$ 在 $g$ 作用下的不动点个数. 试证 $\sum_{g\in G} f(g)=t |G|.$
    1. 若 $G/Z(G)$ 是循环群, 证明 $G$ 为阿贝尔群, 故非交换有限群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 的指数 $\geqslant 4$.
    2. 如果 $G$ 为 $n$ 阶有限群, $t$ 为 $G$ 中共轭类的个数, $c=\frac{t}{n}$. 证明 $c=1$ 或者 $c\leqslant \frac{5}{8}$.
  6. 设群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 在上半平面 $\mathcal{H}$ 上的作用即: 对 $\gamma=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$, $\gamma(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$. 试证明微分形式 $y^{-2}dx\wedge dy$ 在 $\gamma$ 作用下不变, 即若 $z=x+yi$, $\gamma(z)=x’+y’i$, 则 $y^{-2}dx\wedge dy=y’^{-2}dx’\wedge dy’.$
    1. 设 $p$ 是素数, $n\geqslant 1$. 证明映射
      \[\varphi:\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p),\ \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a\bmod p & b\bmod p\\ c\bmod p & d\bmod p\end{pmatrix}\]
      为群的满同态.
    2. 试求群 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ 的阶.
    3. 设正整数 $m,n$ 互素. 试证明
      \[ \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})\cong\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}). \]

  1. 证明复数域 $\mathbb{C}$ 可嵌入到环 $M_2(\mathbb{R})$ 中.
  2. 令 $G=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$, 且对任意 $i\neq j$, $|G_i|$ 和 $|G_j|$ 互素. 证明 $G$ 的任意子群 $H$ 都是它的子群 $H\cap G_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 的直积.
  3. 设 $R$ 是环, $\mathfrak{m}$ 是 $R$ 的一个理想. 假设 $R$ 的每个不属于 $\mathfrak{m}$ 的元素是 $R$ 中的单位. 证明 $\mathfrak{m}$ 是 $R$ 的唯一极大理想.
  4. 设 $F$ 是域, 多项式环 $F[x]$ 的分式域记为 $K$. 对于 $a\in F$, 称 $f(x)\in K$ 在点 $a$ 处正则是指存在 $p_1(x), p_2(x)\in F[x]$, $p_2(a)\neq 0$ 且 $f(x)=\dfrac{p_1(x)}{p_2(x)}$. 定义 $f$ 在 $a$ 点的值为 $f(a)=p_1(a)/p_2(a)$.
    1. 证明 $f(a)$ 的定义是良好的.
      记 $O$ 为所有在 $a$ 点正则的 $f(x)$ 构成的环.
    2. 求 $O$ 的单位群.
    3. 证明 $O$ 中真理想 $I$ 均是由 $(x-a)^n (n\in \mathbb{N})$ 生产的主理想.
  5. 证明150阶群不是单群.
  6. 设有限阿贝尔群 $A\cong \mathbb{Z}/p_1^{\alpha_1}\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/p_s^{\alpha_s}\mathbb{Z}$, 其中 $p_i$ 是素数, $\alpha_i\geq 1$ 为正整数. 证明 $A$ 的任意子群 $B$ 均同构于 $\mathbb{Z}/p_1^{\beta_1}\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/p_s^{\beta_s}\mathbb{Z}$, 其中 $0\leq \beta_i\leq \alpha_i$ 为整数.
  7. 设 $R$ 是正整数集合到域 $K$ 的函数全体. 在 $R$ 上定义加法为一般函数的加法, 乘法定义为卷积: 对于 $f, g\in R$, 卷积 $f*g$ 即
    \[ (f*g)(m)= \sum_{xy=m} f(x) g(y). \]
    其中求和过所有正整数对 $(x,y)$ 使得 $xy=m$.

    1. 证明 $R$ 在上述加法和乘法意义下构成交换环, 其单位元为函数 $\delta$, 其中 $\delta(1)=1$, $\delta(x)=0$ 如 $x\neq 1$.
    2. 证明常值函数 $\varphi_1: x\mapsto 1$ 的逆元为 Möbius函数
      \[ \mu(x)=\begin{cases} 1, & \ x=1;\\ (-1)^r, & \ x\text{是$r$ 个不同素数的乘积};\\ 0, & \ \text{其他情况}. \end{cases} \]
    3. 由(ii), 你能给出 Möbius 公式并给出理由吗?

    1. 求 $\zeta_7=e^{2\pi i/7}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式.
    2. 求 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式.
  1. 设域 $F$ 的特征不是 $2$. 证明 $F$ 上任意 $2$ 次扩张 $K$ 均可写为 $K=F(\sqrt{a})$, 其中 $a\in F-F^2$. 如果 $F$ 的特征为 $2$, 结论是否成立?
  2. 设 $p\equiv 3\bmod 4$ 是素数. 证明商环 $\mathbb{Z}[i]/(p)$ 同构于 $\mathbb{F}_{p^2}$.
  3. 设 $D$ 是整环但不是域, 证明 $D[x]$ 不是主理想整环.
  4. 设 $\alpha,\beta$ 分别是有限域 $\mathbb{F}_p$ ($p$ 是素数)的代数闭包 $\bar{\mathbb{F}}_p$ 中的多项式 $x^2-2$ 和 $x^2-3$ 的根. 令 $E=\mathbb{F}_p(\alpha,\beta)$. 讨论 $E/\mathbb{F}_p$ 的扩张次数.
  5. 证明两个整多项式在 $\mathbb{Q}[x]$ 中互素当且仅当它们在 $\mathbb{Z}[x]$ 中生成的理想含有一个非零整数.
  6. 设 $F$ 是域, $R$ 是 $F$ 上的所有 $x$ 项系数为 $0$ 的多项式构成的集合. 证明 $R$ 是环但不是 UFD.
  7. 证明当 $n\geq 3$ 时, $x^{2^n}+x+1$ 是 $\mathbb{F}_2[x]$ 上的可约多项式.
  1. 证明或者给出反例:
    1. 如果正整数 $m$ 整除阿贝尔群 $G$ 的阶 $n$, 则 $G$ 有 $m$ 阶子群.
    2. 如果正整数 $m$ 整除群 $G$ 的阶 $n$, 则 $G$ 有 $m$ 阶子群.
  2. 给出群 $S_6$ 中元素可能的型, 并求出每个型中元素的个数.
  3. 证明 $\mathbb{Q}$ 不是循环群, 但它的任意有限生成子群都是循环群.
  4. 试给出一个 $9$ 元域并给出它的乘法表.
  5. 设 $a,b$ 是群 $G$ 中的两个元素, 证明 $a$ 与 $a^{-1}$ 有相同的阶, $ab$ 与 $ba$ 有相同的阶.
  6. 试求出(同构意义下)所有 $6$ 阶群.
  7. 试求出(同构意义下)所有 $8$ 阶群.
  8. 设 $p$ 是素数.
    1. 证明 $p^2$ 阶群都是阿贝尔群.
    2. 求 $\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_p)$ 中 Sylow $p$-群的阶.
    3. 给出 $\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_p)$ 中 Sylow $p$ 群的具体例子,并说明它不是阿贝尔群.
  9. 设 $p,\ell$ 为互不相同的素数, $n$ 为正整数. 求 $\mathbb{F}_p[x]$ 中首一不可约 $\ell^n$ 次多项式的个数.
  10. 设域 $F=\mathbb{F}_5$ 或 $\mathbb{Q}$. 证明 $f(x)=x^3+x+1$ 为 $F$ 上的不可约多项式. 求 $f(x)$ 在 $F$ 上的 Galois 群.
  11. 证明 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}(1+\sqrt{-1})/\mathbb{Q}$ 是四次扩张, 并求出它的 Galois 群.
    1. 证明 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张, 并求出 Galois 群.
    2. 求元素 $\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式.
  12. 设 $E/F$ 为有限 Galois 扩张, $N$ 和 $M$ 为中间域, $E\supseteq N\supseteq M\supseteq F$, 并且 $N$ 是 $M$ 在 $F$ 上的正规闭包. 证明
    \[ \mathrm{Gal}(E/N)=\bigcap_{\sigma\in\mathrm{Gal}(E/F)}\sigma\mathrm{Gal}(E/M)\sigma^{-1}. \]
  13. 设 $E$ 为 $x^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域.
    1. 试求出 $E/\mathbb{Q}$ 的全部中间域.
    2. 试问哪些中间域是 $\mathbb{Q}$ 的 Galois 扩张?
  14. 设 $E=\mathbb{Q}(\alpha)$, 其中 $\alpha^3+\alpha^2-2\alpha-1=0$. 证明
    1. $\alpha^2-2$ 也是多项式 $x^3+x^2-2x-1=0$ 的根.
    2. $E/\mathbb{Q}$ 是正规扩张.
    3. 试求 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$.
  15. 试确定 $\mathbb{Z}[x]$ 中所有的素理想和极大理想.
  16. 设 $u$ 是多项式 $x^3-6x^2+9x+3=0$ 的根.
    1. 求证 $[\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}]=3$.
    2. 试将 $u^4$ 和 $(u^2-6u+8)^{-1}$ 表示为 $1,u,u^2$ 的线性组合.
  17. 设 $p$ 是素数.
    1. 证明 $f(x^p)=f(x)^p$ 对于任意 $f(x)\in\mathbb{F}_p[x]$ 成立.
    2. 设整数 $m\ge n\ge 0$. 证明: ${pm \choose pn}\equiv {m\choose n}\bmod p$.
  18. 设 $p$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的奇素数, $n$ 为正整数. 证明 $x^n-p$ 是 $\mathbb{Z}[i]$ 上的不可约多项式.
  19. 证明 $x^3+nx+2$ 对所有 $n\neq 1,-3,-5$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的不可约多项式.
  20. 设 $d\ge 3$ 为无平方因子的整数, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
    1. 证明 $K$ 中任意元素在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式的次数等于 $1$ 或者 $2$.
    2. 设 $\mathcal{O}$ 是 $K$ 上所有在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式为首一整系数多项式的元素的集合. 证明 $\mathcal{O}$ 是秩为2的自由阿贝尔加法群.
  21. 设 $n\ge 3$ 为无平方因子的整数, $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$.
    1. 证明 $2,\sqrt{-n}$ 和 $1+\sqrt{-n}$ 在 $R$ 上为不可约元.
    2. 证明 $\sqrt{-n}$ 和 $1+\sqrt{-n}$ 在 $R$ 上不能同时为素元.
  22. 证明若整环 $R$ 中的素理想都是主理想, 则 $R$ 是 PID (提示: 反证法. 利用 Zorn 引理, 考虑对所有非主理想按包含关系排序获得的极大元.)
  23. 设 $\mathfrak{p}$ 是含幺交换环 $R$ 的素理想, $I_1,\ldots,I_n$ 是 $R$ 的理想, 如果 $\mathfrak{p}=\cap_{i=1}^n I_i$, 则 $\mathfrak{p}$ 必等于某个 $I_i$.

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