复变函数

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本卷中 $B(a,r)=\{z\in\mathbb{C}\mid|z-a|<r\}, B(\infty,r)=\{z\in\mathbb{C} \mid |z|>r\}$.

  1. 以下陈述是否正确?如果不正确请给出理由.
    1. 存在 $B(0,1)\backslash\{0\}$ 上的无界全纯函数 $f$ 使得 $\lim\limits_{z\rightarrow 0}zf(z)=0.$
    2. 存在 $B(0,1)$ 上的全纯函数 $f$ 使得 $f(\frac{1}{n})=(-1)^n, n=2,3,\ldots.$
    3. 存在 $\mathbb{C}$ 上的非零全纯函数 $f$ 有无穷多零点.
    4. 设 $D$ 是 $\mathbb{C}$ 中的域, $f\in H(D)\cap C(\overline{D}),$ 则 $f$ 一定能在 $D$ 的边界上取得最大模.
    5. 设 $D = \{ z \in \mathbb{C} \mid 0 < \mathrm{Re}\ z < 1 \}, f \in H(D) \cap C ( \overline D )$ 满足 $f(ai)=0, \forall a\in \mathbb{R}$, 则 $f$ 恒等于零.
    6. 设 $D=B(\infty,R), f,g\in H(D)\cap C(\overline D), R>0$ 满足 $f(z)=g(z), \forall z\in \mathbb{C}, |z|=R$, 则 $f$ 恒等于 $g$.
    7. $\infty$ 是 $\sin(\dfrac{1}{\cos \dfrac{1}{z}})$ 的本性奇点.
    8. $\dfrac{z}{e^z-1}$ 在 $\mathbb{C}$ 上亚纯.
    9. $B(0,1)$ 的全纯自同构必为分式线性变换.
    10. 若整函数 $f$ 将实轴和虚轴均映为实数,则 $f'(0)=0$.
  2. 计算题
    1. $\int_{|z|=2}\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-1)^3(z-3)}$.
    2. $\int_{|z|=2}\dfrac{z+1}{z^2(z^3+2)}\mathrm{d}z$.
    3. $\int_{|z|=4}\dfrac{ze^{iz}}{\sin z}\mathrm{d}z$.
    4. $\mathrm{Res}(\dfrac{z^{2n}}{(z+1)^n},\infty)$.
    5. $e^{\frac{1-z}{z}}$ 在扩充复平面上有哪些奇点?并求出在 $D=B(\infty,1)$ 上的 Laurent 展开.
  3. 设 $f\in H(B(0,1))$, $f(0)=1,$ 并且 $\mathrm{Re} f(z)\geq0$, $\forall z\in B(0,1).$ 证明
    \[\frac{1-|z|}{1+|z|} \leq \mathrm{Re} f(z) \leq |f(z)| \leq \frac{1+|z|}{1-|z|},\forall z\in B(0,1).\]
  4. 利用辐角原理或 Rouché 定理证明代数学基本定理.
  5. 设 $\gamma$ 是圆周 $\partial B(a,R)$ 上的一段开圆弧. 证明: 若 $f$ 在 $B(a,R)$ 上全纯, 在 $B(a,R)\cup\gamma$ 上连续,并且在 $\gamma$ 上恒为零,则 $f$ 在 $B(a,R)$ 上也恒为零.
  6. 求一单叶全纯映射, 把 $D$ 映为上半平面, 其中
    \[\begin{split}D&=\Omega \backslash[0,i],\\
    \Omega &= B(\sqrt{3},2)\cap B(-\sqrt{3},2),\end{split}\]
    这里 $[0,i]$ 表示连接 $0$ 和 $i$ 的线段.
    复变函数
  7. 设 $\gamma$ 是可求长简单闭曲线,其内部为域 $G_1$, 外部为域 $G_2$. 如果 $f\in H(G_2)\cap C(\overline G_2)$, 而且 $\lim_{z\rightarrow \infty}f(z)=A,$ 那么
    \[ \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=
    \left\{ \begin{array}{ll}
    -f(z)+A, & z\in G_2;\\
    A, & z\in G_1,
    \end{array} \right.\]
    这里 $\gamma$ 关于 $G_1$ 取正向.

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