代数学基础

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  1. 对于域上 $n$ 次多项式 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0 (a_0 a_n\neq 0)$, 令 $f^*(x)=x^nf(\frac{1}{x}).$
    1. 证明 $f(x)$ 不可约约当且仅当 $f^*(x)$ 不可约.
    2. 证明 $3x^5+6x^4+3x^2+1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中不可约.
    3. 设 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 的根, 使用 $f(x)$ 的系数表示
      \[(x_1+\dots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}).\]
  2. 写出 $S_4$ 中所有的 $2$ 阶元, 写出 $S_5$ 中阶最大的一个元素, 并简述理由.
    1. 设 $X$ 为有限集, $Y$ 与 $Z$ 是 $X$ 的子集且 $|Y|>\frac{|X|}{2}, |Z|>\frac{|X|}{2}$. 证明 $Y\cap Z$ 非空.
    2. 设 $p$ 为奇素数, $a,b\in\mathbb{F}_p^\times, c\in\mathbb{F}_p$. 证明方程 $ax^2+by^2=c$ 在 $\mathbb{F}_p$ 中总有解.
  3. 计算 $x^4+x^2+x+1$ 与 $x^5+x^2+x+1$ 在 $\mathbb{F}_2[x]$ 和在 $\mathbb{Q}[x]$ 中的最大公因子.
  4. 证明 $x^2+y^2+z^2=1007$ 没有整数解.
    1. 试讨论 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上置换 $x\mapsto -x$ 的奇偶性.
    2. 证明映射 $x\mapsto x^5$ 是 $\mathbb{F}_p^\times$ 上的同构当且仅当 $p\not\equiv 1\bmod5$.
  5. 对所有素数 $p$, 讨论多项式 $x^2-6$ 在 $\mathbb{F}_p[x]$ 中是否可约.
  6. 设 $\alpha, \beta\in\mathbb{Z}[i]$ 且 $\beta\neq0$. 证明存在 $\gamma, \delta\in\mathbb{Z}[i]$, 满足
    \[\alpha=\beta\gamma+\delta,\quad 0\leq|\delta|<|\beta|,\]
    其中 $|z|$ 即复数 $z$ 的模长.

  1. 计算题:
    1. 求 953 和 657 的最大公因子 $d$, 并求 $u,v$ 使得 $953u+657v=d$.
    2. 试求 $\sum\limits_{i=1}^n i^3$.
    3. 在有限域 $\mathbb{F}_{13}$ 中求 5 的乘法逆元.
    4. 求解同余方程组: \[\left\{\begin{split}5x\equiv 4&\bmod 6,\\3x\equiv 2&\bmod 10.\end{split}\right.\]
  2. 对于正整数 $k$, 设 $\mu_k=\{\zeta_k^t\mid 0\leqslant t\lt k\}$(其中 $\zeta_k=\cos\frac{2\pi}{k}+i\sin\frac{2\pi}{k}$)是复数域 $\mathbb{C}$ 中 $k$ 次单位根构成的乘法群. 对于正整数 $m$ 和 $n$, 试证明:
    1. $\mu_m\cap\mu_n=\mu_{(m,n)}$.
    2. 存在整数 $a,b$ 使得 $\zeta_{[m,n]}=\zeta_m^a\zeta_n^b$.
  3. 设 $D$ 是固定无平方因子整数.
    1. 试问所有形如 $\left(\begin{smallmatrix}x&y\\Dy&x\end{smallmatrix}\right)$(其中 $x,y\in\mathbb{Z}$)的矩阵集合在矩阵的加法和乘法意义下是否构成环?
    2. 试问所有形如 $\frac{1}{2}\left(\begin{smallmatrix}x&y\\Dy&x\end{smallmatrix}\right)$(其中 $x,y\in\mathbb{Z}$ 且 $x,y$ 同奇偶)的矩阵集合在矩阵的加法和乘法意义下是否构成环?
  4. 设 $X=[0,1)$. 在 $X$ 上定义加法
    \[ \alpha\oplus\beta=\begin{cases}\alpha+\beta,\quad &\text{若 }\alpha+\beta<1;\\
    \alpha+\beta-1, &\text{若 }\alpha+\beta\ge 1.\end{cases}\]

    1. 证明 $(X,\oplus)$ 为阿贝尔群.
    2. 给出 $X$ 到单位元 $S^1$ 的群同构.
  5. 设 $a$ 为正有理数, $k$ 为正整数. 证明: $\sqrt[k]{a}$ 是有理数当且仅当对所有素数 $p$, $v_p(a)\equiv 0\bmod k$. (注意 $v_p(a)$ 即 $a$ 的因子分解中 $p$ 的幂次)
    1. 设 $p,q$ 为不同的奇素数, $m=pq$. 证明对于任意 $a\in\mathbb{Z}$, $(a,m)=1$, $a^{\varphi(m)/2}\equiv 1\bmod m$.
    2. 求 $2^{500}\bmod 2014$.

  1. 计算题(需简要说明理由)
    1. 确定 $1$ 在多项式 $x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1$ 中的零点重数 ($n\ge 2$).
    2. 求置换 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 7 & 5 & 4 & 6 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的阶.
    3. 求 $S_{30}$ 中型为 $1^1 2^2 3^3 4^4$ 的置换的个数.
    4. 判断同余方程 $x^2\equiv 137\bmod{227}$ 是否有解.
    5. 若群 $G$ 中元素 $x$ 的阶为 $21$, 则 $x^{14}$ 的阶是多少?
    6. 设 $p$ 是奇素数, 则 $\mathbb{F}_p[x]$ 中形如 $x^2+ax+b$ 的二次多项式共有多少个不可约多项式?
  2. 求一个首项系数为1的三次多项式 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$, 使得它的根是多项式 $x^3+2x^2+3x-2$ 的根的平方.
    1. 找出 $\mathbb{F}_2[x]$ 的所有3次不可约多项式.
    2. 在 $\mathbb{F}_2[x]$ 中分解多项式 $x^5-x-1$.
    3. 证明多项式 $x^5-x-1$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中为不可约多项式.
  3. 对于$n=2$, 3, 4 和 5, 分别判断命题

    若群 $G$ 和 $H$ 满足 $|G|=|H|=n$, 则 $G$ 与 $H$ 是同构的群.

    是否正确, 并证明你的结论.

  4. 对于有限群 $G$, 设 $d(G)$ 是最小的正整数 $s$ 使得对任意 $g\in G$, $g^s=1$. 证明:
    1. $d(G)$ 是 $|G|$ 的因子, 它等于 $G$ 中所有元素阶的最小公倍数.
    2. 如果 $G$ 是阿贝尔群, 则 $G$ 中存在元素阶为 $d(G)$.
    3. 有限阿贝尔群 $G$ 为循环群当且仅当 $d(G)=|G|$.

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